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    <meta name="description" content="数学分析（下） 广义积分 P46 无穷限  定义为定积分的极限 积分第二中值定理P54 判断敛散性  可以积分的直接积分来观察极限是否存在 柯西收敛 比较判别法（记得绝对值） 与1&#x2F;xp比较（p&gt;1 收敛，p ≤ 1发散） 迪利克雷判别法P57  被积函数&#x3D;f(x) * g(x) f 积分有界 g单调趋于零  阿贝尔判别法  被积函数&#x3D;f(x) *">
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  <title>数学分析(下) - 泥土味的博客</title>

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            <h1 id="seo-header">数学分析(下)</h1>
            
            
              <div class="markdown-body">
                
                <h1 id="数学分析下">数学分析（下）</h1>
<h2 id="广义积分"><strong>广义积分</strong></h2>
<p>P46</p>
<h3 id="无穷限"><strong>无穷限</strong></h3>
<ul>
<li>定义为定积分的极限</li>
<li>积分第二中值定理P54</li>
<li>判断敛散性
<ul>
<li>可以积分的直接积分来观察极限是否存在</li>
<li>柯西收敛</li>
<li>比较判别法（记得绝对值）</li>
<li>与<span
class="math inline">1/<em>x</em><sup><em>p</em></sup></span>比较（p&gt;1
收敛，<span class="math inline"><em>p</em> ≤ 1</span>发散）</li>
<li>迪利克雷判别法P57
<ul>
<li>被积函数=<span
class="math inline"><em>f</em>(<em>x</em>) * <em>g</em>(<em>x</em>)</span></li>
<li>f 积分有界</li>
<li>g单调趋于零</li>
</ul></li>
<li>阿贝尔判别法
<ul>
<li>被积函数=<span
class="math inline"><em>f</em>(<em>x</em>) * <em>g</em>(<em>x</em>)</span></li>
<li>f收敛</li>
<li>g单调有界</li>
</ul></li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="瑕积分"><strong>瑕积分</strong></h3>
<p>P61</p>
<ul>
<li>判断敛散性
<ul>
<li>柯西收敛</li>
<li>比较判别法</li>
<li>与<span
class="math inline">1/(<em>x</em> − <em>a</em>)<sup><em>p</em></sup></span>比较（<span
class="math inline"><em>p</em> &lt; 1</span> 收敛，<span
class="math inline"><em>p</em> ≥ 1</span>发散）</li>
<li>迪利克雷判别法
<ul>
<li>被积函数=<span
class="math inline"><em>f</em>(<em>x</em>) * <em>g</em>(<em>x</em>)</span></li>
<li>f 积分有界</li>
<li>g单调趋于零</li>
</ul></li>
<li>阿贝尔判别法
<ul>
<li>被积函数=<span
class="math inline"><em>f</em>(<em>x</em>) * <em>g</em>(<em>x</em>)</span></li>
<li>f收敛</li>
<li>g单调有界</li>
</ul></li>
</ul></li>
</ul>
<h2 id="函数项级数"><strong>函数项级数</strong></h2>
<p>P70</p>
<ul>
<li>函数序列
<ul>
<li>一串函数</li>
</ul></li>
<li>函数项级数
<ul>
<li>函数序列对于每个确定x组成的数列</li>
</ul></li>
<li>极限函数
<ul>
<li><span
class="math inline">lim<sub><em>n</em> → ∞</sub><em>f</em><sub><em>n</em></sub>(<em>x</em>) = <em>f</em>(<em>x</em>)</span></li>
</ul></li>
<li>部分和序列
<ul>
<li>部分和</li>
<li>是n的函数</li>
</ul></li>
<li>和函数
<ul>
<li>部分和序列的极限</li>
</ul></li>
<li>一致收敛
<ul>
<li>级数极限=极限函数在x的取值</li>
<li>放心地交换极限次序<span
class="math inline">（<em>x</em> → <em>x</em><sub>0</sub>/<em>n</em> → +∞）</span></li>
<li>放心地交换积分和极限的次序</li>
<li>放心地交换极限与微商的顺序</li>
</ul></li>
<li>判断敛散性（部分和的思想）
<ul>
<li>可以积分的直接积分</li>
<li>达朗贝尔判别法
<ul>
<li>前后两项相除</li>
</ul></li>
<li>柯西收敛</li>
<li>维尔斯特拉斯判别法（M判别法）
<ul>
<li><span
class="math inline">|<em>u</em><sub><em>k</em></sub>(<em>x</em>)| ≤ <em>M</em><sub><em>k</em></sub></span></li>
<li><span
class="math inline"><em>M</em><sub><em>k</em></sub></span>收敛</li>
<li>迪利克雷判别法
<ul>
<li><span
class="math inline"><em>a</em><sub><em>n</em></sub><em>b</em><sub><em>n</em></sub></span></li>
<li>a一致有界</li>
<li>b单调趋于零</li>
</ul></li>
<li>阿贝尔判别法
<ul>
<li><span
class="math inline"><em>a</em><sub><em>n</em></sub><em>b</em><sub><em>n</em></sub></span></li>
<li>a一致收敛</li>
<li>b一致有界，每个b都单调</li>
</ul></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li>分析性质
<ul>
<li>逐项可积
<ul>
<li>求和和积分可交换</li>
</ul></li>
<li>逐项求导</li>
<li>做题：求和函数
<ol type="1">
<li>求收敛域2~3‘</li>
<li>看模板</li>
<li>有分母先导后积，无分母先积后导</li>
<li>写出和函数，记得结合实际情况把收敛域写出来</li>
</ol></li>
</ul></li>
</ul>
<h2 id="幂级数"><strong>幂级数</strong></h2>
<p>P96</p>
<ul>
<li>阿贝尔引理
<ul>
<li>收敛点之内收敛</li>
<li>发散点之外发散</li>
</ul></li>
<li>收敛半径唯一</li>
<li>求收敛半径
<ul>
<li>相邻系数之比的极限
<ul>
<li>达朗贝尔判别法</li>
<li>求极限确定r</li>
<li>考虑边界</li>
</ul></li>
</ul></li>
<li>阿贝尔第二引理P101</li>
<li>幂级数的和函数S在收敛区域内
<ul>
<li>逐项微商</li>
<li>逐项积分</li>
</ul></li>
<li>函数的幂级数展开</li>
</ul>
<h2 id="傅里叶级数"><strong>傅里叶级数</strong></h2>
<p>P114</p>
<ul>
<li>三角函数系
<ul>
<li>正交性（任意两个不同函数的乘积在[-, ]积分为0）</li>
</ul></li>
<li>收敛到傅里叶级数的条件
<ul>
<li>逐段可微</li>
</ul></li>
<li>计算傅里叶系数(考题基本上都来自这里P142)
<ul>
<li>对称的2
<ul>
<li>判断奇偶——简化</li>
<li><span class="math inline">$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}
f(x) \, dx$</span></li>
<li><span class="math inline">$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}
f(x) \cos(nx) \, dx$</span></li>
<li><span class="math inline">$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}
f(x) \sin(nx) \, dx$</span></li>
<li><span class="math inline">$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n
\cos(nx) + b_n \sin(nx))$</span></li>
</ul></li>
<li>非对称的
<ul>
<li>周期为2L——变量代换x = t</li>
<li>记住延拓完之后，要把x代入回原来的f(x)当中</li>
<li>没有周期
<ul>
<li>奇延拓</li>
<li>偶延拓</li>
</ul></li>
</ul></li>
</ul></li>
</ul>
<h2 id="平面点集与多元函数"><strong>平面点集与多元函数</strong></h2>
<p>P158</p>
<h3 id="平面点集"><strong>平面点集</strong></h3>
<ul>
<li>概念明确
<ul>
<li>内点：存在邻域在E内</li>
<li>外点：存在邻域不在E内</li>
<li>边界点：任意邻域都有E的点也有E外的点</li>
<li>聚点：任意空心邻域有E内的点</li>
</ul></li>
<li>关系
<ul>
<li>内点一定是聚点</li>
<li>边界点可能是聚点，也可能是孤立点</li>
</ul></li>
<li>常见平面点集
<ul>
<li>开集：所有点都是内点</li>
<li>闭集：所有聚点都属于E</li>
<li>连通集：任意两点用有线条直线段相连</li>
<li>（开）区域：连通的开集</li>
<li>闭区域：连通的闭集</li>
</ul></li>
<li>关系
<ul>
<li>区域总是开集，反之不一定</li>
<li>闭区域总是闭集，反之不一定</li>
</ul></li>
<li>（威尔斯特拉斯）W.T定理
<ul>
<li>如果点列{(P_n)}有界，那必有收敛子列</li>
<li>证明：连续用两次实数的致密性定理来证明（注意下标）</li>
<li><span
class="math inline"><em>P</em><sub><em>n</em></sub> = (<em>x</em><sub><em>n</em></sub>, <em>y</em><sub><em>n</em></sub>)<em>有</em><em>界</em>，<em>x</em><sub><em>n</em></sub>, <em>y</em><sub><em>n</em></sub><em>都</em><em>有</em><em>界</em>。<em>x</em><sub><em>n</em></sub><em>有</em><em>收</em><em>敛</em><em>子</em><em>列</em><em>x</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub> → <em>x</em><sub>0</sub>，<em>那</em><em>么</em><em>y</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub><em>也</em><em>有</em><em>界</em>，<em>有</em><em>收</em><em>敛</em><em>子</em><em>列</em><em>y</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em><sub><em>l</em></sub></sub></sub> → <em>y</em><sub>0</sub>，<em>那</em><em>么</em><em>x</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em><sub><em>l</em></sub></sub></sub><em>是</em><em>x</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub><em>的</em><em>子</em><em>列</em>，<em>也</em><em>收</em><em>敛</em><em>于</em><em>x</em><sub>0</sub>。<em>所</em><em>以</em><em>有</em><em>收</em><em>敛</em><em>子</em><em>列</em></span></li>
</ul></li>
<li>矩形套定理
<ul>
<li>一直缩小，最后所有的矩形交于一点</li>
<li>证明：对两个坐标方向分别用区间套定理</li>
</ul></li>
<li>有限覆盖定理
<ul>
<li>如果有界闭集F被无限个开区间的集合，那么必可从^*也覆盖F。</li>
<li>将无限转化为有限</li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="二元函数"><strong>二元函数</strong></h3>
<ul>
<li>二元函数的极限问题（全面极限）
<ul>
<li>证明的时候要用极限的定义来证明</li>
<li>可以用三角换元，但是要满足保证在所有方向上趋近于原点（角度要取完）</li>
<li>证明极限不存在只需要找一个特例</li>
</ul></li>
<li>累次极限
<ul>
<li>全面极限和两个累次极限的<strong>存在性</strong>并无必然联系</li>
<li>但当它们存在的时候，极限值有一定的关系
<ul>
<li>如果三个都存在，那么三者必相等</li>
<li>如果两个累次极限存在但是不相等，那么全面极限必不存在（沿着特殊方向的极限值不同）</li>
</ul></li>
</ul></li>
<li>二元函数的连续性
<ul>
<li>对于一个二元函数，如果对于任意固定的y是x的一元连续函数，同理，对于任意固定的x是y的一元连续函数，并<strong>不能推出这个二元函数是连续</strong>的</li>
<li>讨论连续性的问题
<ul>
<li>对于一般点，用定义，初等函数直接带入极限值</li>
<li>对于特殊点（没有定义的点），则要计算在该点的极限，然后看看要不要补充定义</li>
</ul></li>
<li>复合函数的连续性（同时连续才算连续）</li>
</ul></li>
<li>有界闭区域上的连续函数
<ul>
<li><p>有界</p>
<ul>
<li>用反证法，假设无界</li>
</ul></li>
<li><p>有最大值和最小值</p></li>
<li><p>一致连续</p>
<ol type="1">
<li>设D是一个有界闭集，f(x,y)是定义在D上的二元连续函数。</li>
<li>根据有界闭集的性质，我们知道D上的任意点列都有收敛的子列，并且子列的极限点仍然在D</li>
<li><span
class="math inline"><em>假</em><em>设</em><em>f</em>(<em>x</em>, <em>y</em>)<em>在</em><em>D</em><em>上</em><em>不</em><em>一</em><em>致</em><em>连</em><em>续</em>，<em>那</em><em>么</em><em>存</em><em>在</em><em>ϵ</em><sub>0</sub> &gt; 0，<em>以</em><em>及</em><em>点</em><em>列</em>{(<em>x</em><sub><em>n</em></sub>, <em>y</em><sub><em>n</em></sub>)}<em>和</em>{(<em>x</em><sub><em>n</em></sub>′, <em>y</em><sub><em>n</em></sub>′)}（<em>n</em> = 1, 2, 3, …），<em>满</em><em>足</em></span></li>
</ol>
<p><span class="math inline">$\lim_{n \to \infty} \sqrt{(x_n - x_n')^2 +
(y_n - y_n')^2} = 0，但$</span></p>
<p><span
class="math inline">|<em>f</em>(<em>x</em><sub><em>n</em></sub>, <em>y</em><sub><em>n</em></sub>) − <em>f</em>(<em>x</em><sub><em>n</em></sub>′, <em>y</em><sub><em>n</em></sub>′)| ≥ <em>ϵ</em><sub>0</sub>。</span></p>
<ol type="1">
<li><span
class="math inline"><em>由</em><em>于</em><em>D</em><em>是</em><em>有</em><em>界</em><em>闭</em><em>集</em>，<em>点</em><em>列</em>{(<em>x</em><sub><em>n</em></sub>, <em>y</em><sub><em>n</em></sub>)}<em>和</em>{(<em>x</em><sub><em>n</em></sub>′, <em>y</em><sub><em>n</em></sub>′)}<em>都</em><em>有</em><em>收</em><em>敛</em><em>的</em><em>子</em><em>列</em>。<em>设</em>{(<em>x</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>, <em>y</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>)}<em>和</em>{(<em>x</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>′, <em>y</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>′)}<em>是</em><em>收</em><em>敛</em><em>的</em><em>子</em><em>列</em>，<em>且</em><em>它</em><em>们</em><em>的</em><em>极</em><em>限</em><em>分</em><em>别</em><em>为</em>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>)<em>和</em>(<em>x</em><sub>0</sub>′, <em>y</em><sub>0</sub>′)。</span></li>
<li>根据极限的性质，我们有</li>
</ol>
<p><span class="math inline">$\lim_{k \to \infty} \sqrt{(x_{n_k} -
x_{n_k}')^2 + (y_{n_k} - y_{n_k}')^2} = 0，即(x_0, y_0) = (x_0',
y_0')。$</span></p>
<ol type="1">
<li>由于f(x,y)在D上连续，根据连续函数的性质，我们有</li>
</ol>
<p><span
class="math inline">lim<sub><em>k</em> → ∞</sub><em>f</em>(<em>x</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>, <em>y</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>) = <em>f</em>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>) = <em>f</em>(<em>x</em><sub>0</sub>′, <em>y</em><sub>0</sub>′) = lim<sub><em>k</em> → ∞</sub><em>f</em>(<em>x</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>′, <em>y</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>′)。</span></p>
<ol type="1">
<li><span
class="math inline"><em>但</em><em>是</em><em>这</em><em>与</em><em>第</em><em>三</em><em>步</em><em>中</em><em>的</em><em>结</em><em>论</em>|<em>f</em>(<em>x</em><sub><em>n</em></sub>, <em>y</em><sub><em>n</em></sub>) − <em>f</em>(<em>x</em><sub><em>n</em></sub>′, <em>y</em><sub><em>n</em></sub>′)| ≥ <em>ϵ</em><sub>0</sub><em>矛</em><em>盾</em>，<em>因</em><em>为</em><em>当</em><em>k</em><em>足</em><em>够</em><em>大</em><em>时</em>，|<em>f</em>(<em>x</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>, <em>y</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>) − <em>f</em>(<em>x</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>′, <em>y</em><sub><em>n</em><sub><em>k</em></sub></sub>′)|<em>应</em><em>该</em><em>小</em><em>于</em><em>ϵ</em><sub>0</sub>。</span></li>
<li>因此，我们的假设——f(x,y)在D上不一致连续——是错误的，所以f(x,y)在D上一致连续。</li>
</ol></li>
<li><p>介值定理</p></li>
</ul></li>
</ul>
<h2 id="偏导数与全微分"><strong>偏导数与全微分</strong></h2>
<p>P180</p>
<h3 id="偏导数"><strong>偏导数</strong></h3>
<p>本质：把曲面取一个截面变成曲线，来研究曲线在某个方向的导数</p>
<p>注意：</p>
<ol type="1">
<li>与一元函数可导就连续不同，二元函数偏导数存在不能完全反映曲面性质</li>
<li>与一元函数可导即可微不同，二元函数必须偏导数连续，才可微</li>
</ol>
<h3 id="全微分"><strong>全微分</strong></h3>
<p><span
class="math inline"><em>Δ</em><em>z</em> = <em>f</em>(<em>x</em><sub>0</sub> + <em>Δ</em><em>x</em>, <em>y</em><sub>0</sub> + <em>Δ</em><em>y</em>) − <em>f</em>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>) = <em>A</em><em>Δ</em><em>x</em> + <em>B</em><em>Δ</em><em>y</em> + <em>o</em>(<em>ρ</em>)</span></p>
<p><span
class="math inline"><em>d</em><em>z</em> = <em>f</em><sub><em>x</em></sub>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>)<em>Δ</em><em>x</em> + <em>f</em><sub><em>y</em></sub>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>)<em>Δ</em><em>y</em></span></p>
<p>二元函数的全微分是函数全该变量的线性主部（这后面在证明的时候有很大用，看变化量与全微分之差是不是距离的无穷小量）</p>
<p>dz其实是关于x, y, dx, dy的四元线性函数</p>
<p>而四者是独立的</p>
<p>所以在求二阶全微分的时候，有d(dx) = d(dy) = 0</p>
<ul>
<li>题型：判断函数在某一点的可微性
<ol type="1">
<li>用定理：偏导数存在且在这一点连续</li>
<li>用定义：（用定义）先求出偏导数，注意区分x_0,
x，用全变化减去微分，看是不是o()</li>
</ol></li>
<li>题型：求近似值
<ol type="1">
<li>确定x_0, y_0, x, y</li>
<li><span
class="math inline"><em>根</em><em>据</em><em>微</em><em>分</em><em>的</em><em>定</em><em>义</em>，<em>写</em><em>出</em><em>f</em>(<em>x</em><sub>0</sub> + <em>Δ</em><em>x</em>, <em>y</em><sub>0</sub> + <em>Δ</em><em>y</em>) = <em>f</em>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>) + <em>f</em><sub><em>x</em></sub>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>)<em>Δ</em><em>x</em> + <em>f</em><sub><em>y</em></sub>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>)<em>Δ</em><em>y</em></span></li>
</ol></li>
</ul>
<h3 id="高阶全微分"><strong>高阶全微分</strong></h3>
<p>画出树状图</p>
<p>若f_{xy}与f_{yx}都连续则相等</p>
<p><span class="math inline">$d^n u = \left( \frac{\partial}{\partial x}
dx + \frac{\partial}{\partial y} dy \right)^n f(x, y)$</span></p>
<h3 id="复合函数与隐函数微分"><strong>复合函数与隐函数微分</strong></h3>
<ul>
<li>题型：直接考察求导
<ul>
<li>画出树状图，用<strong>链式法则</strong>，注意区分乘法的求导法则</li>
<li><span class="math inline">$du = \frac{\partial u}{\partial s} ds +
\frac{\partial u}{\partial t} dt = \left( \frac{\partial f}{\partial x}
\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}
\frac{\partial y}{\partial s} \right) ds + \left( \frac{\partial
f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial
f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \right) dt$</span></li>
</ul></li>
<li>题型：复合函数
<ul>
<li><span class="math inline">$例如F(xy, y+z, xz) = 0，求\frac{\partial
z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$</span>
<ol type="1">
<li>假设确定隐函数z = z(x, y)</li>
<li>方程两边对x和y分别求偏导</li>
<li>联立方程</li>
</ol></li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="几何应用"><strong>几何应用</strong></h3>
<h3 id="求切向量法向量">求切向量法向量</h3>
<ul>
<li>曲线
<ul>
<li>曲线只有切向量和法平面</li>
<li><span
class="math inline"><em>切</em><em>向</em><em>量</em><em>γ⃗</em> = (<em>x</em>′(<em>t</em><sub>0</sub>), <em>y</em>′(<em>t</em><sub>0</sub>), <em>z</em>′(<em>t</em><sub>0</sub>)) = (<em>A</em>, <em>B</em>, <em>C</em>)</span></li>
<li><span class="math inline">$如果曲线由两个曲面F,
G的交线来定义，那么\overrightarrow{\gamma} = \left( \frac{\partial(F,
G)}{\partial(y, z)}, \frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)},
\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)} \right)$</span></li>
</ul></li>
<li>曲面
<ul>
<li>曲面只有切平面和法向量</li>
<li><span
class="math inline"><em>法</em><em>向</em><em>量</em><em>n⃗</em> = (<em>F</em><sub><em>x</em></sub>, <em>F</em><sub><em>y</em></sub>, <em>F</em><sub><em>z</em></sub>) = (<em>A</em>, <em>B</em>, <em>C</em>)</span></li>
<li>特别的，如果z = f(x, y)那么</li>
</ul></li>
<li>共同的部分
<ul>
<li>由一个向量求所在直线方程和垂直的平面方程</li>
<li><span
class="math inline">$直线方程（自由度为1，所以要两个方程来限定）：\frac{x
- x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C}$</span></li>
<li><span
class="math inline"><em>平</em><em>面</em><em>方</em><em>程</em>（<em>自</em><em>由</em><em>度</em><em>为</em>2，<em>所</em><em>以</em><em>只</em><em>需</em><em>要</em><em>一</em><em>个</em><em>方</em><em>程</em>）：<em>A</em>(<em>x</em> − <em>x</em><sub>0</sub>) + <em>B</em>(<em>y</em> − <em>y</em><sub>0</sub>) + <em>C</em>(<em>z</em> − <em>z</em><sub>0</sub>) = 0</span></li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="方向导数">方向导数</h3>
<p><span
class="math inline"><em>沿</em><em>着</em><em>l</em><em>方</em><em>向</em><em>的</em><em>方</em><em>向</em><em>余</em><em>弦</em><em>l</em><sub>0</sub> = (cos <em>α</em>, cos <em>β</em>, cos <em>γ</em>)</span></p>
<p><span class="math inline">$梯度\nabla = \left( \frac{\partial
f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial
f}{\partial z} \right)$</span></p>
<p>方向导数就是给梯度赋权，权值就是方向余弦</p>
<p><span class="math inline">$所以\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla
\cdot (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$</span></p>
<h3 id="泰勒展开">泰勒展开</h3>
<p><span class="math inline">$f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) =
\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left( \frac{\partial}{\partial x} dx +
\frac{\partial}{\partial y} dy \right)^k f(x_0, y_0) + R$</span></p>
<h2 id="隐函数存在定理"><strong>隐函数存在定理</strong></h2>
<p>P225</p>
<h3 id="单个方程的形式"><strong>单个方程的形式</strong></h3>
<p><span
class="math inline"><em>如</em><em>果</em><em>F</em>(<em>x</em>, <em>y</em>)<em>在</em><em>某</em><em>一</em><em>点</em><em>P</em><sub>0</sub>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>)<em>附</em><em>近</em><em>满</em><em>足</em></span></p>
<ol type="1">
<li><span
class="math inline"><em>F</em><sub><em>x</em></sub>, <em>F</em><sub><em>y</em></sub><em>连</em><em>续</em></span></li>
<li><span class="math inline">$F(P_0) = 0 \space
(通常为初始条件)$</span></li>
<li><span
class="math inline"><em>F</em><sub><em>y</em></sub>(<em>P</em><sub>0</sub>) ≠ 0<em>那</em><em>么</em><em>在</em><em>P</em><sub>0</sub><em>点</em><em>附</em><em>近</em><em>存</em><em>在</em><em>唯</em><em>一</em><em>的</em><em>隐</em><em>函</em><em>数</em><em>y</em> = <em>f</em>(<em>x</em>)<em>且</em><em>在</em><em>x</em><sub>0</sub><em>邻</em><em>域</em><em>连</em><em>续</em><em>且</em><em>有</em><em>连</em><em>续</em><em>的</em><em>导</em><em>数</em></span></li>
</ol>
<h3 id="方程组的形式"><strong>方程组的形式</strong></h3>
<p><span
class="math inline"><em>F</em>(<em>x</em>, <em>y</em>, <em>u</em>, <em>v</em>), <em>G</em>(<em>x</em>, <em>y</em>, <em>u</em>, <em>v</em>)<em>满</em><em>足</em></span></p>
<ol type="1">
<li>对各变元有一阶连续偏导,</li>
<li><span
class="math inline"><em>F</em>(<em>P</em><sub>0</sub>) = <em>G</em>(<em>P</em><sub>0</sub>) = 0,</span></li>
<li><span class="math inline">$J|_{P_0} = \frac{\partial(F,
G)}{\partial(u, v)} \ne 0 那么在P_0附近唯一确定连续的隐函数u = u(x, y),
v = v(x, y) 且有连续的导数$</span></li>
</ol>
<ul>
<li><span class="math inline">$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}
\cdot \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = 1$</span></li>
</ul>
<h2 id="极值与条件极值"><strong>极值与条件极值</strong></h2>
<p>P241</p>
<h3 id="多元函数的极值"><strong>多元函数的极值</strong></h3>
<ul>
<li>稳定点——所有偏导数都为0</li>
<li>极值的<strong>必要条件</strong>
<ul>
<li>所有偏导数都为0</li>
<li>注意不是充分条件（z = xy在(0,
0)偏导数都为0，但是在该点附近都有异号的函数值）</li>
</ul></li>
<li>D的定义：
<ul>
<li><span class="math inline">$a_{11} = f_{xx}(x_0, y_0), \space a_{12}
= f_{xy}(x_0, y_0), \space a_{22} = f_{yy}(x_0, y_0), \space \\ D =
\left| \begin{matrix} a_{11} &amp; a_{12} \\ a_{12} &amp; a_{22}
\end{matrix} \right|$</span></li>
</ul></li>
<li>极值的判别（考察）
<ul>
<li><span
class="math inline">（<em>在</em><em>该</em><em>点</em><em>的</em><em>领</em><em>域</em><em>内</em><em>有</em><em>二</em><em>阶</em><em>连</em><em>续</em><em>偏</em><em>导</em><em>数</em>）<em>f</em><sub><em>x</em></sub>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>) = <em>f</em><sub><em>y</em></sub>(<em>x</em><sub>0</sub>, <em>y</em><sub>0</sub>) = 0</span>
<ul>
<li><span
class="math inline"><em>若</em><em>D</em> &gt; 0，<em>当</em><em>a</em><sub>11</sub>(<em>a</em><sub>22</sub>) &gt; 0<em>取</em><em>得</em><em>极</em><em>小</em><em>值</em>；<em>当</em><em>a</em><sub>11</sub>(<em>a</em><sub>22</sub>) &lt; 0<em>取</em><em>得</em><em>极</em><em>大</em><em>值</em>。</span></li>
<li>若D &lt; 0 不是极值点</li>
<li>若D = 0 不能判断</li>
</ul></li>
<li>证明：用泰勒公式</li>
<li>做题：
<ol type="1">
<li>求一阶偏导，令偏导为0得到稳定点（注意在求解方程的时候，可能会得到两个未知数之间的关系，这个时候一定要带回方程里完全解出来）</li>
<li>求二阶偏导，算D</li>
<li>看a_{11}的符号</li>
</ol></li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="最小二乘法"><strong>最小二乘法</strong></h3>
<p>本质上就是给了一个误差函数，求这个误差函数的极小值</p>
<ul>
<li><span class="math inline">$f(a, b) = \sum_{i=1}^{n} (ax_i + b -
y_i)^2$</span>
<ol type="1">
<li>对他求一阶导，令一阶导数为0，得到方程组</li>
<li>用克拉默法则解方程（注意a和b才是未知数）</li>
</ol></li>
</ul>
<h3 id="多元函数的最值"><strong>多元函数的最值</strong></h3>
<p>一句话：可能的最值点包括可能的极值点和边界点</p>
<p>所以先求出极值点，以及边界值，然后做对比即可</p>
<h3 id="条件极值"><strong>条件极值</strong></h3>
<ul>
<li>什么叫条件极值
<ul>
<li>在整个空间里的叫做无条件极值</li>
<li>有方程约束范围的叫做条件极值
<ul>
<li>每个（方程）条件就相当于一个隐函数，可以带入消元</li>
<li>思想：化为无条件极值求解</li>
</ul></li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="拉格朗日乘数法"><strong>拉格朗日乘数法</strong></h3>
<p>对于上面提到的条件极值</p>
<p><span class="math inline">$假设f(x, y, u, v)在约束条件 \begin{cases}
F(x, y, u, v) = 0,\\ G(x, y, u, v) = 0\\ (F ,G不重) \end{cases}
\space在P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)点取极值\\ 那么存在唯一的\lambda_1,
\space \lambda_2, \space \\s.t. \begin{cases} L_x(P_0) = L_y(P_0) =
L_u(P_0) = L_v(P_0) = 0,\\ F(P_0) = G(P_0) = 0 \end{cases}\\ 其中L = f +
\lambda_1 F + \lambda_2 G$</span></p>
<ul>
<li>做题
<ol type="1">
<li>写出拉格朗日函数</li>
<li>求导，令导函数为0</li>
<li>解方程得到稳定点</li>
<li>通过极值的判断条件来判断
<ol type="1">
<li>求二阶导数（求之前要用隐函数存在定理确定导数存在）</li>
<li>D</li>
<li>a_{11}</li>
</ol></li>
</ol></li>
</ul>
<h2 id="含参变量的积分"><strong>含参变量的积分</strong></h2>
<p>P270</p>
<h3 id="一般情况">一般情况</h3>
<ul>
<li>首先我们要理解什么叫含参变量的积分</li>
</ul>
<p><span class="math inline">$每一个[a, \ b]上固定的x_0,\ 对应的\int_c^d
f(x_0, y) dy都是一个[数]\\ 当x变动的时候，就定义了一个[函数]\\I(x) =
\int_c^d f(x, y) dy, x \in [a, b],\\ 参变量为x$</span></p>
<ul>
<li>性质
<ul>
<li>f 连续，I 就连续</li>
<li>放心交换积分和极限</li>
<li>只要偏导数连续就放心求导I’(x) = _c^d f_x(x, y) dy</li>
</ul></li>
<li>题型：给你一个含参变量的函数，要求把其他变量消掉
<ul>
<li>大胆对内求导</li>
<li>把关于y的积分算出来（消掉y）</li>
<li>求x的积分</li>
<li>确定常数C</li>
</ul></li>
<li>题型：要求主动引入参变量的积分（压轴题）
<ul>
<li>引入参变量，原来的I = I(1)，最好保证I(0) =
0（有利于后面构造积分）</li>
<li>对内求导数</li>
<li>把关于x的积分算出来</li>
<li><span
class="math inline"><em>I</em> = <em>I</em>(1) = <em>I</em>(1) − <em>I</em>(0) = ∫<sub>0</sub><sup>1</sup><em>I</em>′(<em>α</em>)<em>d</em><em>α</em></span></li>
<li>求出积分即可</li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="积分上下限也依赖于参数x-p265">积分上下限也依赖于参数x P265</h3>
<p><span
class="math inline"><em>I</em>(<em>x</em>, <em>u</em>) = ∫<sub><em>c</em></sub><sup><em>u</em></sup><em>f</em>(<em>x</em>, <em>y</em>)<em>d</em><em>y</em></span></p>
<p>请尤其关注这个式子</p>
<p><span class="math inline">$\frac{d (\int_c^x f(t) dt)}{dx} = f(x)\\
变上限积分的导数为原函数$</span></p>
<ul>
<li>性质：
<ul>
<li>f连续则I连续，放心求导，导函数存在且连续</li>
<li>不用担心连续问题：</li>
<li><span class="math inline">$f在[a, b] \times [c, d]连续,且c(x),
d(x)也在[a, b]连续,有导数, c &lt; c(x), d(x) &lt; d,\\ F(x) =
\int_{c(x)}^{d(x)} f(x, y) dy 连续\\ 且F'(x) = \int_{c(x)}^{d(x)} f_x(x,
y) dy + f(x, d(x)) d'(x) + f(x, c(x)) c'(x)\\链式法则(分别对x，c，d求导)
+ (17) + 复合函数求导$</span></li>
</ul></li>
<li>做题：求正常求不出来的积分的导数</li>
<li>性质：放心积分交换次序
<ul>
<li><span
class="math inline">∫<sub><em>a</em></sub><sup><em>b</em></sup><em>d</em><em>x</em>∫<sub><em>c</em></sub><sup><em>d</em></sup><em>f</em>(<em>x</em>, <em>y</em>)<em>d</em><em>y</em> = ∫<sub><em>c</em></sub><sup><em>d</em></sup><em>d</em><em>y</em>∫<sub><em>a</em></sub><sup><em>b</em></sup><em>f</em>(<em>x</em>, <em>y</em>)<em>d</em><em>x</em></span></li>
</ul></li>
</ul>
<h2 id="重积分"><strong>重积分</strong></h2>
<p>P292</p>
<h3 id="三重积分交换次序"><strong>三重积分交换次序</strong></h3>
<ul>
<li><span
class="math inline"><em>对</em><em>于</em>∫<sub><em>a</em></sub><sup><em>b</em></sup><em>d</em><em>x</em>∫<sub><em>c</em></sub><sup><em>d</em></sup><em>d</em><em>y</em>∫<sub><em>e</em></sub><sup><em>f</em></sup><em>f</em>(<em>x</em>, <em>y</em>, <em>z</em>)<em>d</em><em>z</em><em>的</em><em>两</em><em>种</em><em>理</em><em>解</em></span>
<ul>
<li><span
class="math inline">∫<sub><em>a</em></sub><sup><em>b</em></sup>[∬<sub><em>D</em><sub><em>z</em></sub></sub><em>d</em><em>x</em><em>d</em><em>y</em>]<em>d</em><em>z</em><em>即</em><em>先</em><em>对</em><em>特</em><em>定</em><em>z</em><em>求</em><em>切</em><em>片</em><em>面</em><em>积</em>，<em>再</em><em>对</em><em>z</em><em>求</em><em>积</em><em>分</em></span></li>
<li><span
class="math inline">[∬<sub><em>D</em></sub><em>d</em><em>x</em><em>d</em><em>y</em>]∫<sub><em>ψ</em>(<em>x</em>, <em>y</em>)</sub><sup><em>φ</em>(<em>x</em>, <em>y</em>)</sup><em>f</em>(<em>x</em>, <em>y</em>, <em>z</em>)<em>d</em><em>z</em><em>即</em><em>在</em><em>x</em><em>O</em><em>y</em><em>平</em><em>面</em><em>投</em><em>影</em>，<em>作</em><em>垂</em><em>线</em>，<em>两</em><em>个</em><em>交</em><em>点</em>，<em>做</em><em>差</em>，<em>再</em><em>对</em><em>投</em><em>影</em><em>面</em><em>积</em><em>积</em><em>分</em></span></li>
</ul></li>
<li>不需要在意原理，只需知道两两可以交换次序（变成二重积分）
<ul>
<li><span
class="math inline">(∫<sub><em>a</em></sub><sup><em>b</em></sup><em>d</em><em>x</em>∫<sub><em>c</em></sub><sup><em>d</em></sup><em>d</em><em>y</em>)∫<sub><em>e</em></sub><sup><em>f</em></sup><em>d</em><em>z</em></span></li>
<li><span
class="math inline">∫<sub><em>a</em></sub><sup><em>b</em></sup><em>d</em><em>x</em>(∫<sub><em>c</em></sub><sup><em>d</em></sup><em>d</em><em>y</em>∫<sub><em>e</em></sub><sup><em>f</em></sup><em>d</em><em>z</em>)</span></li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="三重积分的换元"><strong>三重积分的换元</strong></h3>
<h2 id="关键是雅可比行列式fracpartialx-ypartialu-v"><span
class="math inline">$关键是雅可比行列式\frac{\partial(x, y)}{\partial(u,
v)}$</span></h2>
<h2 id="曲线与曲面积分"><strong>曲线与曲面积分</strong></h2>
<h3 id="第一型曲线积分">第一型曲线积分</h3>
<p>可以理解成线密度质量的模型</p>
<p>由于微分转化的时候用的是平方，无方向</p>
<ul>
<li><span
class="math inline"><em>做</em><em>计</em><em>算</em><em>题</em>，<em>一</em><em>般</em><em>给</em><em>出</em><em>的</em><em>形</em><em>式</em><em>为</em>∫<sub><em>L</em></sub><em>f</em>(<em>x</em>, <em>y</em>, <em>z</em>)<em>d</em><em>s</em></span>
<ul>
<li>用参数来表示</li>
<li><span class="math inline">$ds = \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)}
dt$</span></li>
<li>转化为普通定积分</li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="第二型曲线积分">第二型曲线积分</h3>
<p>可以理解成变力做功的模型</p>
<p>dx/dy/dz给定了方向</p>
<ul>
<li><span
class="math inline"><em>做</em><em>计</em><em>算</em><em>题</em>，<em>一</em><em>般</em><em>给</em><em>出</em><em>的</em><em>形</em><em>式</em><em>为</em>∫<sub><em>L</em><sub><em>a</em><em>b</em></sub></sub>(<em>x</em><sup>2</sup> + <em>y</em><sup>2</sup>)<em>d</em><em>x</em> + 4<em>x</em><em>y</em><em>d</em><em>y</em></span>
<ul>
<li>寻找参数（可以是极坐标也可以是曲线方程）</li>
<li>对参数求导，转化微分</li>
<li>带入，转化为普通定积分求解</li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="第一型曲面积分">第一型曲面积分</h3>
<p>最显著的特征在于，积分区域变了，原来是XoY平面，现在变成了某一曲面</p>
<p>可以将函数看作是曲面的面密度（与方向没有任何关系）</p>
<p>思想：将曲面投影到XoY平面，曲面上的一点唯一对应XoY上的一点，面积之比为这个点的梯度。从而转化为熟知的二重积分。</p>
<ul>
<li><span
class="math inline"><em>做</em><em>计</em><em>算</em><em>题</em>，<em>一</em><em>般</em><em>给</em><em>出</em><em>的</em><em>形</em><em>式</em><em>为</em>∬<sub><em>S</em></sub><em>x</em><em>y</em><em>z</em><em>d</em><em>s</em></span>
<ul>
<li><span class="math inline">$\iint_S f(x, y, z) ds = \iint_D f(x, y,
z(x, y)) \sqrt{1 + z_x^2(x, y) + z_y^2(x, y)} dx dy$</span></li>
<li>转化为重积分解决</li>
</ul></li>
<li>如果用参数表示，只需要
<ul>
<li><span class="math inline">$r_u = \left( \frac{\partial x}{\partial
u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u} \right)
\\ r_v = \left( \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial
y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v} \right)$</span></li>
<li><span
class="math inline"><em>E</em> = <em>r</em><sub><em>u</em></sub> ⋅ <em>r</em><sub><em>u</em></sub>, <em>F</em> = <em>r</em><sub><em>u</em></sub> ⋅ <em>r</em><sub><em>v</em></sub>, <em>G</em> = <em>r</em><sub><em>v</em></sub> ⋅ <em>r</em><sub><em>v</em></sub></span></li>
<li><span class="math inline">$ds = \sqrt{EG - F^2} dx dy$</span></li>
<li>转化为重积分解决</li>
</ul></li>
<li><span
class="math inline"><em>特</em><em>别</em><em>地</em>，<em>如</em><em>果</em><em>三</em><em>维</em><em>的</em><em>积</em><em>分</em><em>区</em><em>域</em><em>退</em><em>化</em><em>到</em><em>二</em><em>维</em>，<em>偏</em><em>导</em><em>数</em><em>项</em><em>为</em>0，∬<sub><em>S</em></sub><em>f</em>(<em>x</em>, <em>y</em>, <em>z</em>)<em>d</em><em>s</em> = ∬<sub><em>D</em></sub><em>f</em>(<em>x</em>, <em>y</em>, <em>z</em>(<em>x</em>, <em>y</em>))<em>d</em><em>x</em><em>d</em><em>y</em><em>也</em><em>就</em><em>是</em><em>一</em><em>个</em><em>普</em><em>通</em><em>的</em><em>二</em><em>重</em><em>积</em><em>分</em></span></li>
</ul>
<h3 id="第二型曲面积分">第二型曲面积分</h3>
<p><span
class="math inline"><em>本</em><em>质</em><em>上</em><em>是</em><em>通</em><em>过</em><em>法</em><em>向</em><em>量</em><em>n⃗</em> = (cos <em>α</em>, cos <em>β</em>, cos <em>γ</em>)<em>来</em><em>链</em><em>接</em>，<em>n⃗</em> ⋅ <em>d</em><em>s⃗</em> = (<em>d</em><em>y</em><em>d</em><em>z</em>, <em>d</em><em>z</em><em>d</em><em>x</em>, <em>d</em><em>x</em><em>d</em><em>y</em>)</span></p>
<ul>
<li><span
class="math inline"><em>做</em><em>计</em><em>算</em><em>题</em>，<em>一</em><em>般</em><em>给</em><em>出</em><em>的</em><em>形</em><em>式</em><em>为</em><em>I</em> = ∬<sub><em>S</em></sub><em>x</em><em>d</em><em>y</em><em>d</em><em>z</em> + <em>y</em><em>d</em><em>z</em><em>d</em><em>x</em> + <em>z</em><em>d</em><em>x</em><em>d</em><em>y</em></span>
<ul>
<li>看有无对称性</li>
<li>投影到对应平面</li>
<li>消元（用已知量或者方程带入）</li>
<li>转化为重积分解决</li>
</ul></li>
</ul>
<h2 id="各种积分之间的联系"><strong>各种积分之间的联系</strong></h2>
<h3 id="格林公式"><strong>格林公式</strong></h3>
<p><span class="math inline">$由逐段光滑的曲线围成的单连通区域,
P、Q有一阶连续偏导数\\ \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \oint_L P dx + Q
dy$</span></p>
<h2 id="补充"><strong>补充</strong></h2>
<ul>
<li>补充克拉默法则
<ul>
<li><span class="math inline">$对于一个二元一次方程组：\\ a_1 x + b_1 y
= c_1\\ a_2 x + b_2 y = c_2\\
其中，a_1、b_1、c_1、a_2、b_2、c_2都是已知的常数，而x和y是未知数。\\根据克拉默法则，方程组的解可以通过以下公式来表示：\\
x = \frac{D_1}{D}, \space y = \frac{D_2}{D}\\
其中，D是方程组的系数行列式，\\D_1是将方程组的常数列替换掉x的系数列所得到的行列式，\\D_2是将方程组的常数列替换掉y的系数列所得到的行列式。$</span></li>
</ul></li>
<li>处理<span
class="math inline">∫sec<sup>3</sup><em>x</em><em>d</em><em>x</em></span>
<ul>
<li>我们用分部积分，可以实现降次</li>
<li><span class="math inline">$\int \sec^3 x dx = \int \sec x d(\tan x)
= \sec x \tan x - \int \tan x d(\sec x)\\ 而\int \tan x d(\sec x) = \int
\tan^2 x \sec x dx = \int (\sec^2 x - 1) \sec x dx = \int (\sec^3 x -
\sec x) dx$</span></li>
<li>接下来移项即可</li>
</ul></li>
</ul>
<h2 id="期末考试押题"><strong>期末考试押题</strong></h2>
<ul>
<li>2*广义积分
<ul>
<li>迪利克雷/Abel</li>
</ul></li>
<li>函数项级数的收敛域
<ul>
<li>根值法</li>
<li>达朗贝尔</li>
</ul></li>
<li>幂级数的和函数（展开）
<ol type="1">
<li>收敛域</li>
<li>看模板</li>
<li>有分母微分，无分母积分</li>
<li>结合实际情况写出收敛域（否则扣分</li>
</ol></li>
<li>傅里叶级数的展开
<ul>
<li>延拓</li>
</ul></li>
<li>求偏导数
<ul>
<li>链式法则</li>
<li>方程组</li>
<li>隐函数求解法</li>
</ul></li>
<li>极值与条件极值
<ul>
<li>拉格朗日乘数法</li>
</ul></li>
<li>二元的微分中值定理</li>
<li>重积分</li>
<li>第一、二型曲线积分
<ul>
<li>参数化表示</li>
</ul></li>
<li>格林公式
<ul>
<li>积分与路径无关</li>
<li>求原函数</li>
</ul></li>
<li>第一型曲面积分</li>
</ul>

                
              </div>
            
            <hr/>
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      <i class="iconfont icon-category"></i>
      

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  <a href="/categories/%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E7%AC%94%E8%AE%B0/" class="category-chain-item">学习笔记</a>
  
  

      </span>
    
  
</span>

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        <a href="/tags/%E6%95%B0%E5%AD%A6/" class="print-no-link">#数学</a>
      
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      <div>数学分析(下)</div>
      <div>http://example.com/2024/07/04/学习笔记/数学分析-下/</div>
    </div>
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        <div class="license-meta-item">
          <div>作者</div>
          <div>Haoran Liao</div>
        </div>
      
      
        <div class="license-meta-item license-meta-date">
          <div>发布于</div>
          <div>2024年7月4日</div>
        </div>
      
      
      
        <div class="license-meta-item">
          <div>许可协议</div>
          <div>
            
              
              
                <a class="print-no-link" target="_blank" href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">
                  <span class="hint--top hint--rounded" aria-label="BY - 署名">
                    <i class="iconfont icon-cc-by"></i>
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                </a>
              
            
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    </div>
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                        <span class="hidden-mobile">离散数学</span>
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                      </a>
                    
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                </div>
              
            </div>

            
          </article>
        </div>
      </div>
    </div>

    <div class="side-col d-none d-lg-block col-lg-2">
      
  <aside class="sidebar" style="margin-left: -1rem">
    <div id="toc">
  <p class="toc-header">
    <i class="iconfont icon-list"></i>
    <span>目录</span>
  </p>
  <div class="toc-body" id="toc-body"></div>
</div>



  </aside>


    </div>
  </div>
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      </a>
    

    
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        <h4 class="modal-title w-100 font-weight-bold">搜索</h4>
        <button type="button" id="local-search-close" class="close" data-dismiss="modal" aria-label="Close">
          <span aria-hidden="true">&times;</span>
        </button>
      </div>
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          <label data-error="x" data-success="v" for="local-search-input">关键词</label>
        </div>
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      </div>
    </div>
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  </main>

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       <a href="https://hexo.io" target="_blank" rel="nofollow noopener"><span>Hexo</span></a> <i class="iconfont icon-love"></i> <a href="https://github.com/fluid-dev/hexo-theme-fluid" target="_blank" rel="nofollow noopener"><span>Fluid</span></a> 
    </div>
  
  
  
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          MathJax.typesetPromise();
        }

        Fluid.events.registerRefreshCallback(function() {
          if ('MathJax' in window && MathJax.startup.document && typeof MathJax.startup.document.state === 'function') {
            MathJax.startup.document.state(0);
            MathJax.texReset();
            MathJax.typeset();
            MathJax.typesetPromise();
          }
        });
      </script>
    

  <script  src="https://lib.baomitu.com/mathjax/3.2.2/es5/tex-mml-chtml.js" ></script>

  <script  src="/js/local-search.js" ></script>





<!-- 主题的启动项，将它保持在最底部 -->
<!-- the boot of the theme, keep it at the bottom -->
<script  src="/js/boot.js" ></script>


  

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</body>
</html>
